Examenes y Practicas

Junio 12, 2008

Examen Sustitutorio de Matematica Basica – Ciclo 2005 – II (UNMSM – FCM)

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1.- Si Adj(A) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\ 4 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right)

  • Hallar A
  • Hallar:A^{-1}

2.- Demostrar que, si p \in \mathbb{Z}^{+} p es primo \iff \lbrack p|ab ,a, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow ( p|a \vee p|b ) \rbrack

3.- Si z - \frac{1}{z} = 2isen( \theta ) , demostrar que

z^{n} - \frac{1}{z^{n}} = 2 i sen(n \theta), \forall n \in \mathbb{Z^{+}} .

4.- Sea A, B \in \mathbb{R}^{n \times n} , demostrar que (AB)^{t} = B^{t}A^{t}.

5.- Sea A = \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3}}{2}i \right)^{-50} y B= \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3}}{2}i \right)^{5} expresar en forma binomial y trigonometrica el numero complejo \frac{A}{B} .

Tercera Practica Calificada de Complementos de Matemática – Ciclo 2005 – I (UNMSM – FCM)

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NOTA: Sólo resuelva 5 preguntas.

1.-

  • Pruebe que si (a,b) = 1 y a|c y b|c , entonces ab | c.
  • Pruebe que si (a,b) = 1 y d | (a+b), entonces (a,d)=(b,d) =1.

2.- Demuestre: Si (a, 240) = 1, entonces 240 | a^{4} - 1.

3.- Demuestre: Si a>1, entonces ( a^{m} - 1 , a^{n} - 1) = a^{(m,n)}-1.

4.- Demuestre:

MCD \left( \frac{n(n+1)}{2} , 2n +1 \right) = 1, \forall n \in \mathbb{N}

5.- Si N = 13^{a} \times 49^{b} tiene \overline{bb} divisores, hallar:

  • El número de divisores de \overline{abba}.
  • La suma de divisores de \overline{baab}

6.- Formulado una ecuación diofántica, resuelva el siguiente problema:

Cuando un empleado fue ha cambiar en efectivo un cheque por x billletes de S./ 100 e y monedas de S./ 2, recibió a cambio y billetes de S./ 100 y x monedas de S./2 y se dio cuenta que había recibido S./ 2 mas que el triple de la cantidad real. ¿Qué cantidad indicaba el cheque?.

7.- Pruebe que el sistema

x \equiv a \bmod{m_{1}} \\ y \equiv b \bmod{m_{2}}

admite solución si y solo si ( m_{1}, m_{2} ) | (a-b) .

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