Examenes y Practicas

junio 12, 2008

Tercera Practica Calificada de Complementos de Matemática – Ciclo 2005 – I (UNMSM – FCM)

NOTA: Sólo resuelva 5 preguntas.

1.-

  • Pruebe que si (a,b) = 1 y a|c y b|c , entonces ab | c.
  • Pruebe que si (a,b) = 1 y d | (a+b), entonces (a,d)=(b,d) =1.

2.- Demuestre: Si (a, 240) = 1, entonces 240 | a^{4} - 1.

3.- Demuestre: Si a>1, entonces ( a^{m} - 1 , a^{n} - 1) = a^{(m,n)}-1.

4.- Demuestre:

MCD \left( \frac{n(n+1)}{2} , 2n +1 \right) = 1, \forall n \in \mathbb{N}

5.- Si N = 13^{a} \times 49^{b} tiene \overline{bb} divisores, hallar:

  • El número de divisores de \overline{abba}.
  • La suma de divisores de \overline{baab}

6.- Formulado una ecuación diofántica, resuelva el siguiente problema:

Cuando un empleado fue ha cambiar en efectivo un cheque por x billletes de S./ 100 e y monedas de S./ 2, recibió a cambio y billetes de S./ 100 y x monedas de S./2 y se dio cuenta que había recibido S./ 2 mas que el triple de la cantidad real. ¿Qué cantidad indicaba el cheque?.

7.- Pruebe que el sistema

x \equiv a \bmod{m_{1}} \\ y \equiv b \bmod{m_{2}}

admite solución si y solo si ( m_{1}, m_{2} ) | (a-b) .

junio 8, 2008

Segunda Practica Calificada Complementos de Matematica – Ciclo 2005 – I (UNMSM – FCM)

1.- Hallar el volumen de la pirámide limitada por los planos coordenados y el plano

P_{1}: \, (2,-3,6).((x,y,z)-(3,-2,2))=0.

(4 pts)

2.- Hallar la ecuación general y vectorial del plano P perpendicular al plano que pasa por (1,1,0) , (2,0,1) y (0,3,1), si se sabe que la recta

L: \, \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-3} = \frac{x-2}{2}

Está contenida en P

(4 pts)

3.- Sea T_{1}, T_{2}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 dos transformaciones lineales. Demuestre que :

  • T_{1} \circ T_{2} es también una transformación lineal.
  • Si T_{1} es inyectiva, entonces es isomorfo.

(4 pts)

4.-

  • Sea T_{3}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 la reflexión respecto a la recta de ecuación y = 3x. Hallar la inversa de T_{3}.
  • Sea T_{1}, T_{2}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 una transformación ortogonal. Demuestre que

T(u).T(v) = 0 \leftrightarrow u.v = 0

(4 pts)

5.- Hallar la rotación que simplifica la ecuación

8x^2-3xy+4y^2 -10 = 0

de modo que la curva carece del término xy en el nuevo sistema. Esboze el gráfico de la curva.

(4 pts)

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