Examenes y Practicas

Junio 12, 2008

Examen Sustitutorio de Matematica Basica – Ciclo 2005 – II (UNMSM – FCM)

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1.- Si Adj(A) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\ 4 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right)

  • Hallar A
  • Hallar:A^{-1}

2.- Demostrar que, si p \in \mathbb{Z}^{+} p es primo \iff \lbrack p|ab ,a, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow ( p|a \vee p|b ) \rbrack

3.- Si z - \frac{1}{z} = 2isen( \theta ) , demostrar que

z^{n} - \frac{1}{z^{n}} = 2 i sen(n \theta), \forall n \in \mathbb{Z^{+}} .

4.- Sea A, B \in \mathbb{R}^{n \times n} , demostrar que (AB)^{t} = B^{t}A^{t}.

5.- Sea A = \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3}}{2}i \right)^{-50} y B= \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3}}{2}i \right)^{5} expresar en forma binomial y trigonometrica el numero complejo \frac{A}{B} .

Junio 11, 2008

Examen Parcial de Matemática Básica – Ciclo 2005 – II (UNMSM – FCM)

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Resolver sólo 5 de las 6 preguntas:

1.- Definamos la proposición p*q \equiv \sim \lbrack \sim p \Rightarrow q \rbrack . Si r \equiv (p*p)*(q*q) y s \equiv (p*q)* \lbrack ( \sim * (p*q))*q) \rbrack , simplificar r \Rightarrow s.

2.- Demostrar que si A \cap B = A \cap C y A \cup B = A \cup C, entonces B = C.

3.- Sea E un conjunto y B \subset E. Consideremos la relación R en E, definida por (X,Y) \in R si y solo si, X \cap B = Y \cap B. Demuestre que R es una relación de equivalencia. Como son las clases de equivalencia?.

4.- Hallar, justificando su respuesta, el supremo e infimo, si existen del conjunto

A= \{ x \in \mathbb{R} / \, \frac{(x + | x | )( | x^{2} + |x | | - 6)}{ |x | - 2} < 0 \}

5.- Pruebe que \sqrt{5} no es un numero natural.

6.- Demostrar por inducción matemática que:

\sum_{k=1}^n sen(2k-1)x = \frac{1 - cos(2nx)}{2senx}

11 de Noviembre del 2005

Junio 9, 2008

Examen Final de Calculo II – PM 121A UNI

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1.- Evaluar las siguientes integrales

  • \int \frac{(e^{4x}+1)e^{2x}}{e^{6x} + e^{4x}+e^{2x}} \, dx
  • \int \frac{2(1+x^{4})^{\frac{1}{2}} + (1 + x^3)^{ \frac{-4}{3}}}{x^{3}} \, dx

2.- Hallar el area de la región limitada por las partes internas y externas de la curva:

r = sen^3(\frac{\theta}{3})

3.- Hallar la fórmula del volumen para una cuna cuyos limites son: La base de un cilindro recto regular y el plano que pasa por el diametro de la base de dicho cilindro. El plano y la base forman un angulo de 45^{\circ }

4.- Un cilindro deformable se mueve de tal manera que uno de los puntos de su circunferencia se encuentra en el eje X. El centro describe la elipse \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1; y el plano del circulo perpendicular al eje X. Calcular el volumen del sólido generado.

5.- Dos cilindros de radio R se cortan perpendicularmente. Hallar el volumen de su intersección.

Junio 8, 2008

Examen Parcial de Matematica Básica – 2005 – II (UNMSM – FCM)

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1.- Simplificar la siguiente expresión

\{ \lbrack P \wedge (Q \to R) \rbrack \vee \lbrack (P \wedge Q) \to R \rbrack \} \vee \{ \lbrack P \vee (Q \to R) \rbrack \wedge \lbrack (P \vee Q) \to R \rbrack \} .

2.- Demostrar que si E y F son dos conjuntos y A \in E, B \in F, entonces

(E \times F) - ( A \times B) = ((E-A) \times F) \cap (E \times ( F-B))

3.- Sea \le el orden usual en el conjunto de los numeros naturales \mathbb{N}.

Sea E = \mathbb{N} \times \mathbb{N} definamos en E la relación

(a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a < c \vee ( a = c \wedge b \le c )

Demostrar que \sim es una relación de orden total en E .

4.- Resolver la inecuación en \mathbb{R}:

\frac{ | 1 - x | }{1 - |x|} < \frac{1 + |x|}{|1+x|}

5.- Demostrar que

1 + 2 \times 2^{-1} + 3 \times 2^{-2} + \dots + n \times 2^{-(n-1)} = 4 - (n+2) \times 2^{-(n-1)}

Junio 6, 2008

Examen Parcial de Calculo IV – Ciclo 2008 – I (UNMSM – FCM)

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1. Sea f(x,y) y D la region limitada por las curvas:

x = -1,   x = (y+1)^{2},   y = -2   y   y = sen(\pi x)

Calcular \iint_{D} f(x,y) dx dy

2. Sea

f(x,y,z) = ( x^{2}, y^{2}, z^{2})

Calcular \int_{C} f.d \alpha , donde \alpha parametrización de C donde C es la curva dada por la intersección de las superficies

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4   y   x=y.

3. Sean u y v campos escalares de clase C^{1}(D), D abierto y conexo de \mathbb{R}^{2}, \mathbb{R} \subset D una región limitada por una curva de Jordan C regular.

Demuestre que:

\oint_{C} uv dx + uv dy = \iint_{R} \left[ v \left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) + u \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right) \right] dxdy

4. Calcular

\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} ( x^{2} + y^{2})^{- \frac{1}{2}}dy dx

Duración: 120 minutos.

05-06-08

Junio 3, 2008

Examen Parcial de Algebra Lineal II – Ciclo 2007-II

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1.- Dada T \in L(\mathbb{R}^3) definida por T(x,y,z) = (3z+y,3y+z,x+3z) y

A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}6&2&0 \\ 2&6&-4 \\ -1&1&6 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 .

Hallar la base B de \mathbb{R}^3 tal que M_{B}(T)=A.

2.- Sea V un \mathbb{K} – espacio vectorial y B = { v_{1}, \dots , v_{n}} una base de V.

Si A \in \mathbb{K}^{n \times n} es la matriz asociada a una T \in L(V) en la base B, hallar T \in L(V).

3.- Dada T \in L( \mathbb{R}^{3}) definida por

T(x,y,z) = (-14x + 72y - 60z, -9x + 40y - 30z, -6x +24y -16z)

determinar si T \in L( \mathbb{R}^3) es diagonalizable, en caso afirmativo obtener su matriz asociada, diagonal.

4.- Dado V un \mathbb{R} – espacio vectorial de dimension finita y T \in L(V).

Probar que:

  1. (Nu(T))_{\mathbb{C}} = Nu(T_{\mathbb{C}}).
  2. Si T \in L(V) es invesible entonces (T^{-1})_{\mathbb{C}} = (T_{\mathbb{C}})^{-1} .

5.- Dada T \in L(\mathbb{R}^3) definida por T(x,y,z) = (15z, x -17z, y+7z), hallar M_{B}(T) (la representacion mas simple), indicando la base B que lo consigue.


Duracion: 120 minutos.

09/10/07

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